İki Şehrin Hikâyesi · Bölüm III — Kılık Değiştirmiş Faiz Opsiyonu: Kontrollü Kurda USDTRY Opsiyonunun Teorisi

Bölüm II deneyi yaptı: bir aylık, ATM bir USDTRY call’u — her iş günü açılıp ders kitabına birebir uyularak delta-hedge edildi ve vadeye taşındı — 96 deneme, 96 zarar. Bu bölüm o zararın teorisidir: neden her seferinde, neden bu kadar — ve opsiyon gerçekte ne üzerine bir opsiyon?

Tez tek cümleye sığar: kontrollü kurda bir USDTRY opsiyonu, kılık değiştirmiş bir faiz opsiyonudur — değeri spotun oynaklığından değil, iki şehir (onshore ve offshore) arasındaki lira fonlama spread’inin oynaklığından gelir.

İki şehir, şimdi vol uzayında

Bu serideki her şey forward’dan geçer. Bölüm I opsiyonun kendi habitatının forward’ıyla fiyatlanması gerektiğini kanıtladı; Bölüm II hedge’in, roll’ü nerede çevirdiğine bağlı olarak bazı gün gün topladığını gösterdi. Teori aynı primitiften başlar. Forward’ı, hangi ölçüde bulunuyorsanız o ölçünün basit lira–dolar spread’i $s$ ile spotun toplamı olarak yazın,

logaritmasını alıp Itô uygulayın:

$B$, forward’ın kendi fonlama spread’ine duyarlılığıdır — kılık değiştirmiş kısa-vadeli bir tahvil durasyonu. Sabit-vadeli bir forward için anlık varyans bir spot kanalına ve bir faiz kanalına ayrılır:

Şimdi sayılar (gerçek veri, Ocak–Haziran 2026, 117 iş günü). 30 günde $B_0 = 0.0798$. Offshore örtük spread ortalama %33.1, yıllık normal volatilitesi $\sigma_s = 39.4$ faiz puanı; dolayısıyla faiz kanalının katkısı $B_0\sigma_s = 3.15\%$. Üstüne %1.80’lik gerçekleşen spot vol’ü ekleyin: $\sqrt{1.80^2 + 3.15^2} = 3.63\%$; buna karşı ölçülen sabit-vadeli forward vol’ü 3.55% — aradaki fark küçük bir negatif spot–spread korelasyonudur ($\rho \approx -0.05$). Forward varyansının kabaca dörtte üçü faiz kanalından gelir, spottan değil.

Onshore ölçüde aynı aritmetik hikâyenin öteki yarısını anlatır. TLREF’in pencere boyunca normal vol’ü yılda yalnızca 3.77 puandı: $B_0\sigma_r = 0.30\%$, dolayısıyla $\sigma_F^{\text{on}} = 1.83\%$ — spot vol’ü ve esasen başka hiçbir şey. Forward’ın oynaklığı yurt içi para piyasasında yapılmaz; onu offshore örtük spread yapar — TLREF’in on katı oynak. Bu, Bölüm I’in iki-şehir kaması, artık vol uzayında ifade edilmiş halidir.

Piyasanın fiyatladığı vol ile bir hedge’in gerçekten içinden yaşayabileceği vol arasındaki açık, log ekseninde bile kapanmıyor. Prim cinsinden: alıcı piyasanın örtüğünden notional’ın 1.09%‘ini öder; oysa adil değer — bir sonraki bölümün kesinleştirdiği anlamda — offshore ölçüde 0.29%, onshore ölçüde 0.21%‘tir.

Vadeye yürüyen forward: T³/3

O ayrışımı bir opsiyon fiyatından hâlâ tek bir adım ayırıyor: opsiyon sabit-vadeli bir forward’a binmez. Onun forward’ının sabit bir teslim tarihi vardır; dolayısıyla kalan gün sayısı küçülür, $\tau_d(t) = T_d\,(1 - t/T)$, ve durasyon doğrusal olarak sönümlenir, $B(t) \approx B_0\,(1 - t/T)$ — vadede forward tam olarak spottur ve faiz kanalı kaybolmuştur. Bir hedge’in gerçekten içinden yaşadığı varyans, o patika boyunca alınan integraldir:

Son terimde saklı duran $T^3/3$ eski bir tanıdıktır — HJM’de sıfır-kuponlu bir tahvile oynaklığını veren integralin aynısı. Ortalama bir Black vol olarak ifade edildiğinde, opsiyonun adil vol’ü şudur:

Offshore ölçüde: $\sqrt{1.80^2 + 3.15^2/3} = \mathbf{2.56\%}$. Onshore ölçüde: $\mathbf{1.81\%}$. Piyasa 9.37% kote ediyor. Varyans cinsinden — theta’nın gerçekte ödendiği para birimi — oran yaklaşık 13×. Primin neden geri kazanılamayacağının kapalı-form karşılığı budur.

Alçalan eğri, opsiyonun kendi ömrü boyunca anlık forward vol’üdür: 3.63%‘ten başlar ve $B(t)$ söndükçe çıplak spot vol’ü olan 1.80%‘e iner; 2.56%‘teki düz referans onun varyans-ortalaması, $\sigma_{\text{fair}}$‘dir. Onshore eğri neredeyse hiç kımıldamaz — 1.83%‘ten 1.80%‘e.

Teori, ölçümü öngörüyor

Adil vol’den bir P&L öngörüsüne köprü, klasik delta-hedge sağlamlık özdeşliğidir (robustness identity): hedge edilmiş uzun bir opsiyon, gün be gün, gamma’sının yarısı ile gerçekleşen ve örtük varyans arasındaki farkın çarpımını biriktirir. Bu piyasanın iki konvansiyonu bunu bozuyormuş gibi görünür. İşlem gören delta prim-ayarlıdır ve opsiyon USD cinsinden değerlenir; dolayısıyla değer fonksiyonu, eğriliği $-2\Phi(d_2)$ terimi katan bir $1/F$ çarpanı taşır — parada işaret bile değiştiren ve tek başına hiç P&L gamma’sı olmayan bir terim. Ama hedge defteri de USD cinsinden değerlenir ve ayna görüntüsü olan $1/F$ konveksitesini taşır. Opsiyon-artı-hedge’in eğriliğini netleştirin — motorun kendi ispatını, yani $\Delta_{\text{PA}}$‘nın defteri düzleştiren tam hedge oranı olduğunu kullanarak — ve egzotik parçalar klasik Black-76 forward gamma’sına geri sadeleşir:

burada $\mathrm{df}$ USD iskonto faktörüdür. USD-ölçüsü fiyatlama PDE’sinin konveksiyon terimi aynı ifadede erir; böylece sağlamlık özdeşliği ölçü ve konvansiyondan sağ çıkar (birim USD notional başına):

Bunu Bölüm II’nin şelalesine karşı okumak tatmin edicidir: üç varyans terimi tam olarak onun üç kovasına düşer. $\sigma_S^2$ parçası spot-gamma kovasıdır — $10M’lik bir defterde $0.1–3.4k ölçüldü, fiilen sıfır. $B^2\sigma_s^2$ parçası swap puanlarından geçer — roll carry’sinin de yaşadığı puan kovası. Ve $-\sigma_i^2$ theta’dır. Bölüm II’nin ampirik özeti — zarar = theta − carry, gamma ≈ 0 — verinin bir cilvesi değildir; gerçekleşen forward varyansının, theta olarak ödenen örtük varyansı karşılayamadığı bir piyasada, bu özdeşliğin kova kova okunmuş halidir.

Sonra test. 96 kayan-pencere vakasının her birine kendi giriş örtük $\sigma_0$‘ını verin (pencere-ortalaması sürünme; spread ve spread-vol’ü olduğu gibi) ve integrali deterministik sürünme patikası boyunca değerlendirin — tam da $\sigma_S$ ihmal edilebilir olduğu için meşru:

96 vaka genelinde teori, vaka başına ortalama -0.75% öngörüyor; ölçülen offshore-roll ortalaması -0.748%. Vaka vaka, korelasyon offshore roll’lere karşı 0.88, onshore roll’lere karşı 0.942 — ki onların ortalaması, son bölümün tam olarak fiyatladığı bir nedenle -0.609%‘e iyileşir. Burada olmayana dikkat: hiçbir yerde uydurulmuş (fitted) parametre yok. Her girdi doğrudan pencereden ölçülür ve vaka başına tek girdi $\sigma_0$‘dır. Mart stresi giriş vol’lerini 13–15%‘e ittiğinde, öngörülen zararlar −1.1…−1.3%‘e derinleşti ve ölçülenler onu izledi — korelasyonun kaynağı bu birlikte-hareket, eğri uydurma değil.

Neden hiç parada kapanmıyor?

96 vadenin sıfırı parada kapandı. Bu kötü şans değil; bir formülü var. Delta-nötr ATM strike $K = F_0\,e^{-\sigma_i^2 T/2}$‘de oturur ve sürünme patikası üzerinde

Sürünme yılda $c = 19.6\%$ hızında; forward’a fiyatlanan spread yılda $\bar s = 33.1\%$ hızında. Spot, kendi hareketinden yılda kabaca on üç puan daha hızlı konmuş bir strike’ı kovalıyor. Beklenen vade-sonu moneyness: $\mathbb{E}[S_T/K] = 0.989$ — 96 vaka genelinde ölçülen ortalama 0.987’ydi. Ve parada kapanma olasılığı,

96’da-sıfırı sıradan kılıyor (pencereler ağır örtüşüyor — örneklem 96 çekilişten çok, beş bağımsız aya yakın). Formül ayrıca neyin gerektiğini de söyler: call yalnızca sürünme spread’i yakalarsa parada kapanır — kontrollü bir rejimde, yapı gereği, nadir bir olay. Bu opsiyon vadede ödemez. Rejim kırılırsa öder.

Düz çizgi, log-moneyness’in deterministik drift’idir, $(c - \bar s)\,t$; etrafındaki patikalar gerçek 96 vakadır. Çizgi etrafındaki dağılım — bir ay sonra yaklaşık yarım puan — bu işlemin geriye kalan bütün rastgeleliğidir.

Caplet özdeşliği ve iki-şehir primi

Mantığı limitine kadar zorlayın, $\sigma_S \to 0$, ve kılık tümüyle düşer. Forward’ın tek sürücüsü faiz spread’idir ve lognormal forward vol ile normal faiz vol arasındaki sözlük $\sigma_F(t) = B(t)\,\sigma_{r,N}$‘dir. Üç sonuç:

• Sabit-vadeli bir forward üzerine bir opsiyon, bir caplet’tir — $T$‘de $T_d$-vadeli faiz üzerine sabitlenen, normal vol $\sigma_{r,N}$, lira notional’ı $\approx F \cdot N$ olan bir opsiyon.
• Standart FX opsiyonu, itfa eden bir caplet’tir. Kendi forward’ının faiz durasyonu doğrusal söner (yukarıdaki $T^3/3$ sönümü), dolayısıyla caplet’in varyansının üçte birini taşır: ATM değeri, caplet’inkinin $\sqrt{3}$‘e bölünmüş halidir. Eşdeğer biçimde, FX ATM, normal vol $\sigma_{r,N}/\sqrt{3}$ ile ilerleyen bir caplet’tir.
• Bir bankanın opsiyon defterinin iki okuması vardır. Onshore (TLREF) ölçüde defter, bir dizi TLREF caplet’idir — ve yılda $\sigma_r = 3.8$ puanda zaman değerleri kırıntı mertebesindedir: notional’ın 0.21%‘i. Offshore ölçüde aynı defter, offshore örtük spread üzerine bir dizi caplet’tir — $\sigma_s = 39.4$‘te adil zaman değeri 0.29%. Piyasa 1.09% biçiyor. Faiz uzayında: bu forward üzerinde 9.4%‘lük bir Black vol, yılda $\approx 9.4\%/B_0 \approx 118$ puan normal spread vol fiyatlar — gerçekleşen etkin $39.4/\sqrt{3} \approx 22.8$‘in kabaca beş katı.

Ki bu, serinin dairesini tamamlar: aynı getiri profilinin iki adil fiyatı vardır ve fark iki katmanda yaşar.

1. Forward katmanı (ilk gün). TLREF (pencere ortalaması 39.4%), offshore örtük lira faizinin (36.7%) üstünde durur, dolayısıyla $F^{\text{on}} > F^{\text{off}}$: aynı ATM call onshore fiyatlandığında daha pahalıdır — öne çıkan Mayıs vakasında notional’ın 1.110%‘una karşı 1.071%‘i — ve delta-nötr strike’ı da onunla kayar (46.554’e karşı 46.491).
2. Vol katmanı (yaşayan hedge). $\sigma_{\text{fair}}^{\text{on}} = 1.81\%$‘e karşı $\sigma_{\text{fair}}^{\text{off}} = 2.56\%$: onshore defterin adil zaman değeri daha düşüktür (0.21%‘e karşı 0.29%), çünkü TLREF’in faiz vol’ü offshore spread’inkinin onda biridir.

İşleyen bir hedge bu farkı, Bölüm II’nin kurduğu ve motorun doğruladığı defter özdeşlikleri aracılığıyla toplar:

• Roll varyantları: $\text{total}^{\text{on}} - \text{total}^{\text{off}} \equiv$ kümülatif carry farkı — Bölüm II’nin CarryGap’i. Kayan çalışmada vaka başına ortalama +0.14%, günlerin 98%‘inde onshore offshore’un üstünde: günlük taksitlerle ödenen baz.
• Vadeye-forward varyantları: aynı fark $-\sum_i \text{trade}_i\,(F^{\text{on}}_i - F^{\text{off}}_i)/S_T$‘dir — her yeniden-dengelemede kilitlenen vade bazı. Burada sıralama vakaya bağlıdır: gecelik carry her gün küçük pozitif bir taksit öder, oysa kilitlenen vade bazı, delta patikasının işlem yaptığı anlardaki (seyrek, bazen bayat) onshore vade kotasyonuna bağlıdır. Aynı baz için iki toplama takvimi; hangisinin kazandığı patikaya bağlıdır.

Her iki özdeşlik de Bölüm II’den devralınmıştır ve ikisi de gerçek pencereyle temasta ayakta kalır. Önce roll çifti — Bölüm II’nin kapanışını yaptığı ispat grafiği:

Sonra vadeye-forward çifti, aynı bazın öteki toplama takviminde geldiği yer — günlük damlatmak yerine her yeniden-dengelemede kilitlenmiş:

İki-şehir farkının prim katmanı — ilk-gün ölçü kesikleri ve her defterin vadede elinde tuttuğu — tek bir tabloda yoğunlaşır:

Öne çıkan ATM satırını yukarıdaki iki katmana göre okuyun: aynı işlemi onshore forward’da yeniden fiyatlamak primi 1.071% → 1.110% oynatır (forward katmanı), oysa tümüyle-onshore banka defteri kendi strike’ını çözer (46.554’e karşı 46.491) ve öne çıkan vakada tam olarak offshore defterin bittiği yerde biter (−0.574%) — özdeşlikler farkı garanti eder, zarardan kaçışı değil. Primi dolar yerine lira ile finanse etmek bir-iki baz puan daha götürür. Ölçü bıçağının her kesişi aynı sonuca varır.

Bunun pratikte değiştirdikleri

• Opsiyon masası için: bu rejimde kısa-vadeli USDTRY vol almak, liranın hareketine oynamak değildir — offshore fonlama-spread’i vol’ü için adilin kabaca beş katını ödemektir. Tersine, kısa bir pozisyonun topladığı theta bedava para değildir: sıçrayabilen bir politika değişkeni üzerine yazılmış bir caplet’in primidir.
• Risk için: defterin gerçek dayanağı offshore spread’dir, spot değil. Önemli olan stres testi, offshore örtük eğriyi — ve rejimin kendisini — şoklar; spot ızgarasında ±2%‘yi değil.
• Fiyatlama için: “hangi forward” (Bölüm I) ve “hangi roll” (Bölüm II) burada “hangi adil vol” olarak buluşur: bir habitat seçimi aynı anda bir drift, bir carry ve bir varyans varsayımıdır. Segmentasyon altında doğru bilinecek tek bir sayı yoktur — kendi içinde tutarlı iki defter vardır.

Kısıtlar ve çekinceler. Yukarıdakilerin hepsi kontrollü kurun sürmesine bağlıdır: $\sigma_{\text{fair}}$, örneklemin içerdiği difüzyonu fiyatlar, içermediği sıçramayı değil. 9.4% örtük ile 2.6% adil arasındaki açık, bu okumada rejim kırılmasının fiyatıdır — Bölüm I’in sıçramalı-difüzyon ayrışımı (peso primi + faiz vol + difüzyon) bu yazının tamamlayıcısıdır ve moneyness formülü aynı şeyi aşağıdan söyler: call yalnızca kırılma olursa öder. Bunun ötesinde: tek pencere (Ocak–Haziran 2026), ağır örtüşen vakalar (≈5 bağımsız ay), seyrek onshore vade kotasyonları ve işlem maliyeti olmayan orta-piyasa gerçekleşmeleri — hepsi Bölüm II’deki gibi.

Bir düşünce deneyiyle başlayalım. Elinizde bir bahis var: doların Türk lirası karşısında yükseleceğine oynuyorsunuz. Bunu en “kitabına uygun” şekilde yapıyorsunuz — riski her gün titizlikle dengeliyor, tam olarak ders kitaplarının söylediği gibi oynuyorsunuz. Sonra bu bahsi arka arkaya 96 kez tekrar ediyorsunuz. Sonuç: 96 denemenin 96’sı da zararla kapanıyor. Bu şans değil — bir kez bile şaşmaması, arkasında bir kural olduğunu gösterir. Ve asıl sürpriz: aslında hiç para birimine bahis oynamıyormuşsunuz.

İki şehir, tek lira

“Lira faizi” dediğimiz şeyin aslında iki fiyatı var — biri yurt içinde (kısaca onshore: İstanbul’daki bankalar arası piyasa), biri yurt dışında (offshore: Londra gibi merkezlerde işlem gören lira). Aynı paranın iki ayrı döviz bürosu gibi düşünün: ikisi de lira alıp satıyor, ama sundukları fiyat her zaman birbirini tutmuyor. Aradaki fark — iki şehir arasındaki gap — bu hikâyenin baş kahramanı.

İkinci sahne unsuru: kur “kontrol altında”. Dolar/lira serbestçe zıplayan bir grafik değil; kısa tasmayla, sabit ve öngörülebilir bir hızda ilerleyen bir yürüyüş gibi. Günü gününe neredeyse hiç oynamıyor; onun yerine yavaş ve istikrarlı biçimde yukarı sürünüyor.

Hareketin geldiği asıl yer

İlk büyük bulgu: bu opsiyon bir “döviz bahsi” gibi görünse de, değerini asıl belirleyen döviz kurunun kımıldaması değil — iki şehir arasındaki faiz gap’inin kımıldaması. Opsiyonun içine yaşadığı oynaklığın kabaca dörtte üçü faiz/gap kanalından geliyor, spotun kendisinden değil. Kur tasmada sakin sakin yürürken, asıl gürültü offshore lira faizinde kopuyor — o faiz, yurt içi faizden on kat daha oynak. Yani opsiyonu alan kişi “dolar yükselir mi?” bahsine girdiğini sanıyor; gerçekte “iki şehir arasındaki gap oynar mı?” bahsine girmiş oluyor. Serinin adı da buradan.

9,4 lira ödeyip 2,6 liralık şey almak

Peki bu bahis neden hep kaybettiriyor? Çünkü fiyatı fena halde şişkin. Opsiyonun âdil değerini — kontrollü rejim böyle sürerse gerçekten hak ettiği fiyatı — hesaplayabiliyoruz: ölçüsüne göre yaklaşık %2,6. Piyasanın istediği fiyat ise %9,4.

Bir benzetme: tepedeki bir eve sel sigortası satın almak gibi. Sakin zamanlarda sel gelmez, ama sigortanın fiyatı sanki her an gelebilirmiş gibi biçilir. Opsiyonu alan, sakin bir rejimde, hiç gerçekleşmeyecek bir felaketin fiyatını ödüyor — ve her gün o fiyatın küçük bir dilimi elinden eriyip gidiyor. Bu “eriyip gitme” tesadüf değil, matematiğin garantisi.

Teori, gerçeği bilebiliyor mu?

Bir teori ancak öngörebiliyorsa işe yarar. Buradaki teorinin en güçlü yanı: hiçbir uydurma ayar olmadan, 96 gerçek vakanın her birinin ne kadar kaybedeceğini tek tek önceden söylüyor. Formüle verilen tek bilgi, her vakanın başladığı gün piyasada görünen oynaklık. Öngördüğü ortalama zarar (−%0,73) ölçülen ortalama zarara (−%0,73) birebir oturuyor. Mart ayında piyasa gerildiğinde teori “zarar derinleşecek” dedi, gerçek de öyle oldu — sonradan grafiğe uydurulmuş bir açıklama değil, önceden yapılmış ve tutan bir tahmin.

Neden hiç “kâra” geçmiyor — ta ki geçene kadar

96 denemenin sıfırı kârda kapandı. Tek cümlelik sezgisi: hedef çizgisi, kurdan daha hızlı kaçıyor. Opsiyonun “kâra geçme eşiği”, forwarda fiyatlanan faiz gap’i kadar — yılda ~%33 hızında — yukarı konumlanıyor. Oysa kur çok daha yavaş, yılda ~%20 hızında sürünüyor. Kur, ne kadar koşarsa koşsun, kendisinden yılda ~13 puan daha hızlı kaçan bir hedefi kovalıyor; yetişme ihtimali yaklaşık %2.

Bu şu demek: opsiyon normal zamanlarda hiç ödemiyor. Yalnızca rejim kırılırsa — tasma kopar, kur kontrolden çıkarsa — ödüyor. Ve bu, madalyonun öbür yüzünü açıklıyor. Bu opsiyonu satan taraf, her gün küçük küçük prim toplayarak istikrarlı bir gelir elde ediyormuş gibi görünür. Ama o gelir bedava değil: aslında felaket sigortası yazıyor. Sel gelmediği sürece tatlı bir gelir; geldiği gün ise faturayı ödeyen o. Görünürdeki yıllık ~%9-10’luk marj, gizli bir kâr değil — sigorta primidir.

Pratikte ne değişir?

• Opsiyon masası için: bu rejimde kısa vadeli USDTRY oynaklığı satın almak, “lira hareket eder mi” bahsi değildir — offshore fonlama gap’inin oynaklığı için âdil bedelin kabaca beş katını ödemektir.
• Risk yönetimi için: defterin gerçek dayanağı offshore gap’tir, kurun kendisi değil. Anlamlı stres testi kuru ”±%2 oynat” değil, offshore faiz eğrisini — ve rejimin kendisini — şoklayandır.
• Herkes için asıl ders: bir şey “döviz bahsi” gibi görünüp de aslında bambaşka bir riskin (burada faiz/rejim riski) kılığına girebilir. Enstrümanın etiketine değil, parayı gerçekte ne oynatıyorsa ona bakın.

Tek cümlede: Kontrollü bir kurda USDTRY opsiyonu, kılık değiştirmiş bir faiz opsiyonudur — değeri kurun oynamasından değil, iki şehir arasındaki lira gap’inin oynamasından gelir; ve piyasa bunun için âdil bedelin katbekat üstünü, bir tür rejim-kırılması sigortası olarak ödetir.